- 9h00-9h30 (salle 0C2) :
Accueil des participants.
- 9h30-10h30 (salle 0C2) : Théorie homotopique des
bigèbres par Benoit
Fresse
Il s'agit de travaux en cours sur les
structures de bigèbres. Plus précisément, les
bigèbres que je considère ont une structure
multiplicative définie par une opérade P et une structure
comultiplicative définie par une opérade Q avec une
relation de distribution entre les deux. Exemple : les bigèbres
associatives. J'étudie des problèmes de transfert et
d'invariance homotopique pour de telles structures. Par exemple : si un
objet X dans la catégorie de base est homotopiquement
équivalent à une bigèbre B, alors on voudrait
donner une structure de bigèbre à X de telle sorte que la
bigèbre obtenue soit homotopiquement équivalente à
B. Pour résoudre ce problème, on relaxe la structure
algébrique en une structure à homotopie près.
Formellement, on remplace P et Q par des modèles cofibrants dans
la catégorie des opérades et on montre que la relation de
distribution se relève à ces modèles. Pour les
bigèbres associatives, on obtient comme cela une notion de
bigèbre A-infini. Dans ce contexte, on peut munir la
catégories des bigèbres d'une structure modèle
appropriée et utiliser les méthodes classiques de la
théorie de l'homotopie. Un but consiste à obtenir des
résultats de formalités intrinsèques pour
certaines bigèbres H affirmant que toutes les bigèbres
(topologiques ou différentielles graduées) B telles que
H_*(B) = H sont homotopiquement équivalentes. Ce résultat
peut s'étendre aux opérades de Hopf (qui sont des
bigèbres particulières associées à des
opérades colorées) pour montrer la formalité
intrinsèque de l'opérade des petits carrés.
- 10h30-11h00 (salle 0C2) :
Pause.
- 11h00-12h00 (salle 0C2) : Sémantique purement homotopique
des algèbres de processus par Philippe Gaucher
Je vais présenter une construction
purement homotopique de l'espace des chemins et des homotopies de
dimension supérieure des algèbres de processus (je me
concentrerai sur CCS) : la restriction en dimension 1 redonnant la
construction habituelle en terme de systèmes de transition
étiquetés. Pour cela, je partirai d'une construction
à valeur dans les ensembles précubiques
(étiquetés), élaborée en partant d'une
idée de K. Worytkiewitcz, mais un peu modifiée pour tenir
compte du paradigme des automates de haute dimension : un et un seul
n-cube plein pour l'exécution concurrente de n transitions. Puis
en utilisant un foncteur réalisation des ensembles
précubiques dans les flots (étiquetés), on verra
comment les particularités algébriques et homotopiques de
cette dernière catégorie permettent d'obtenir notamment
une formalisation du produit parallèle avec synchonisation
complètement débarassée de toute combinatoire,
c'est-à-dire sans construction cosquelette, et en fait
n'utilisant que des colimites homotopiques.
- 12h00-14h00 (Réfectoire de Chevaleret) :
Repas.
- 14h00-15h00 (salle 0D4) : A convenient category for directed
homotopy par Jirí
Rosický
J. H. Smith proposed the category of
simplex-generated topological spaces as a convenient category for
homotopy theory. The essence of his proposal is that this category is
locally presentable but there is no written account of his proof. There
is a discussion of this problem at the home page of D. Dugger. We will
present the missing proof which shows that, more generally, the
category K(I) generated by a small full subcategory I in an arbitrary
topological category K is locally presentable. A consequence is that
preordered topological spaces generated by cubes form a locally
presentable category. This category seems to be convenient for directed
homotopy. In particular, it provides a good framework for studying
dicoverings in the sense of L. Fajstrup.
- 15h00-15h30 (salle 0D4) :
Pause.
- 15h30-16h30 (salle 0D4) : Simplicial approximations and coverings
for state-spaces par Eric
Goubault et Sanjeevi
Krishnan
Locally preordered spaces often arise as the
states of concurrent processes; an appropriate homotopy theory of such
spaces can thus elucidate machine behavior. We separately present a
covering space theory and a simplicial approximation theorem for
locally monotone maps in this talk. The locally monotone coverings
allow us to deloop concurrent processes, and thereby exploit the theory
of posets in constructing general homotopy invariants on our state
spaces. For example, the component category of a pospace, an
order-theoretic analogue of classical path components, generalizes.
Separately, locally monotone simplicial approximations of maps allows
us to calculate certain higher homotopy monoids of state spaces. Time
permitting, we outline a potential application to rewriting theory.
- 16h30-18h00 (salle 0D4) :
Discussions diverses.