Using context and
model categories to define directed
homotopies (Peter
Bubenik, EPFL,
Lausanne, Suisse)
Slides pdf
For partially ordered spaces (po-spaces) there is a natural definition
of directed homotopy, which mirrors the usual definition in the
undirected case. However, we will see that this definition is
insufficient for modeling concurrent systems. If instead of working
with
po-spaces, one works with po-spaces and `context', one arrives at a
more
satisfactory definition of directed homotopy. Essentially, one moves to
the category of po-spaces underneath a fixed po-space, called the
context.
To obtain a model category for local po-spaces, one needs to look at
presheaves of local po-spaces. We will examine the resulting model
structure and incorporate directed homotopies with context.
Polygraphes et
orientaux (Albert
Burroni, Université Paris 7)
Parler de <<géométrie des calculs>> exige
l'exploration de
la nature
géométrique de ce qui est calculé. Les polygraphes
répondent
pleinement à notre avis à cette question. Derrière
cette structure il y
en
a une autre plus intrinsèque, celle de n-catégorie. Cela
ouvre la porte à de
nouvelles investigations : notre travail pose les bases
théoriques de
manipulation de ces structures, notamment à travers la notion
d'oriental qui permet une description des langages d'ordre
supérieurs.
Les orientaux nous suggèrent des propriétes nouvelles sur
les
polygraphes.
Bisimulation for
Higher-Dimensional Automata. A geometric
interpretation (Ulrich
Fahrenberg, EPFL,
Aalborg University, Denmark.)
We introduce a new notion of bisimulation for higher-dimensional
automata and
show that it has a very simple geometric interpretation as a
path-lifting
property. We also show that another, weaker notion of bisimulation
found in
the literature has a similar geometric interpretation by means of
maps which
lift paths up to homotopy. If time permits, we shall also hint on
an
application of these ideas in covering space theory.
Comment faire rentrer
la T-homotopie dans une catégorie de modèles sans
introduire d'équivalences faibles parasites ? (Philippe Gaucher, PPS,
Université Paris 7)
Transparents pdf,
ps.gz
Les flots sont un modèle de parallélisme permettant de
définir une notion de
dihomotopie sans utiliser un choix non-canonique de pointage des
états. La
dihomotopie des flots contient la S-homotopie qui commence à
être bien
comprise et qui donne déjà quelques résultats (par
exemple une longue suite
exacte pour les branchements et les confluences en haute dimension), et
la
T-homotopie . Après avoir défini cette dernière,
j'expliquerai pourquoi toute
structure modèle sur les flots ou bien n'a pas assez
d'équivalences faibles,
ou bien a trop d'équivalences faibles, les équivalences
faibles en trop étant
des morphismes qui modifient ou bien l'homologie des branchements, ou
bien
l'homologie des confluences. Et comment cela m'a donné
l'idée d'introduire
une catégorie de préfaisceaux sur une petite
sous-catégorie des flots. Puis
en admettant le principe de Vopenka, j'expliquerai pourquoi aucune des
structures modèles connues (ou du moins que je connais) ni
aucune de leur
localisation homotopique ne convient pour l'étude de la
T-homotopie sur cette
catégorie de préfaisceaux car toutes ont, encore, des
équivalences faibles
parasites qui modifient l'homologie des branchements ou des
confluences. En
conclusion, je ne répondrai probablement pas à la
question posée mais je
donnerai au cours de l'exposé les arguments
mi-géométriques mi-catégories de
modèles qui me font penser qu'une telle catégorie de
modèles existe.
Modelling fundamental
categories and
fundamental 2-categories for
directed
homotopy (Marco
Grandis,
DIMA,
Università di Genova, Italy)
This work is a contribution to a recent field, Directed Algebraic
Topology, which is concerned with the study of non-reversible phenomena
and
whose main applications presently deal with concurrency.
Categories which appear as fundamental categories of 'directed
structures', e.g. ordered topological spaces, have to be studied up to
appropriate notions of directed homotopy equivalence, wider than
ordinary
equivalence of categories. Here we introduce past and future
equivalences
of categories - sort of symmetric versions of an adjunction - and use
them
and their combinations to get 'directed models' of a category; in the
simplest case, these are the join of the least full reflective and the
least full coreflective subcategory. This study has similarities with a
recent one, by L. Fajstrup, E. Goubault, E. Haucourt and M. Raussen,
using
categories of fractions for the same goal of constructing a 'minimal
model'
of the fundamental category.
We also consider the extension of the previous results in dimension
two.
Catégorie
de composantes d'un espace partiellement ordonné (Emmanuel Haucourt, CEA
Saclay /
PPS, Université Paris 7)
La catégorie fondamentale d'un poespace est le pendant
dirigé du groupoïde fondamental en topologie
algébrique dirigée. Tout comme son homologue classique,
cette petite catégorie a bien souvent la puissance du continu.
La catégorie de composantes permet systématiquement de
réduire cette catégorie a sa plus simple (et
plus "compacte") expression. Le passage d'un poespace a sa
catégorie de composante n'est pas tout à fait fonctoriel,
mais presque pourvu que l'on décore un peu les petites
catégories. On a alors deux résultat très
importants :
- Le théorème de Van Kampen pour les
catégorie de composantes
- La catégorie de composantes d'un poespace est
équivalente a sa catégorie fondamentale
fractionnée par la famille des morphismes "faiblement
inversibles" ou "inessentiels" (la terminologie n'est pas encore bien
fixée...)
En préambule, on rappellera les propriétés
catégoriques que PoSpc (catégories de poespaces) partage
avec Spc (catégorie des espaces topologiques).
Vers
une théorie homotopique des calculs (Yves Lafont, IML,
Université de la Méditerranée)
Annexe à l'exposé pdf.
1.L'égalité algébrique est illusoire : il y a
seulement des calculs qui relient des expressions bien distinctes.
2. Principe de cohérence : deux calculs qui prouvent la
même
"égalité"
doivent être considérés comme "égaux".
3.Cette égalité entre calculs est elle-même
illusoire
: on la
remplace par des calculs entre calculs.
4. On continue
ainsi ad
infinitum.
Ce processus
n'est pas un serpent qui se mange la queue. On peut lui
associer un contenu mathématique précis : c'est une
"résolution" de
Métayer. Cette notion s'exprime elle-même en termes de
"polygraphes" de
Burroni ou de "computades" de Street. Nous pensons qu'elle permet
d'unifier et de généraliser des approches qui sont
visiblement
apparentées comme les théorèmes de
cohérence en théorie des catégories
(Mac Lane & autres), les invariants homologiques et homotopiques de
la
réécriture (Squier & autres), ou l'homologie des
groupes Gaussiens
(Dehornoy & Lafont). Dans cet esprit, nous avons dressé une
liste d'une
quinzaine de conjectures ou de directions de recherche (Programme de
Minneapolis).
Travail en commun avec François Métayer.
Cohomology of small
categories and strictification of track theories (Teimuraz Pirashvili,
Razmadze Mathematical Institute, Tbilisi, Georgia)
We will use such cohomologies to prove the following results in
categories theory : under some asumptions, a track category (a category
enriched in groupoids) with weak coproducts is always equivalent with
one with strict coproducts. We will prove also a strictification result
for additive track categories. The last result involves "quadratic
world" to solve a weakly linear problem.
Changing the contexts
of directed homotopies (Krzysztof
Worytkiewicz)
Given that homotopies fixed by a particular context live in a coslice
model category (of simplicial presheaves on the category of local
po-spaces, c.f. Bubenik's talk), it is quite natural to see the latter
as a fibre of a bifibred model category. Moving between contexts
corresponds then to a reindexation. We present ongoing work based on
these ideas.