1.
L'égalité algébrique est illusoire : il y a
seulement des calculs
qui relient des expressions bien distinctes.
2. Principe de
cohérence : deux calculs qui prouvent la même
"égalité"
doivent être considérés comme "égaux".
3.
Cette égalité entre calculs est elle-même illusoire
: on la
remplace par des calculs entre calculs.
4. On continue ainsi ad
infinitum.
Ce processus n'est pas un serpent qui se mange la queue. On peut lui
associer un contenu mathématique précis : c'est une
"résolution" de
Métayer. Cette notion s'exprime elle-même en termes de
"polygraphes" de
Burroni ou de "computades" de Street. Nous pensons qu'elle permet
d'unifier et de généraliser des approches qui sont
visiblement
apparentées comme les théorèmes de
cohérence en théorie des catégories
(Mac Lane & autres), les invariants homologiques et homotopiques de
la
réécriture (Squier & autres), ou l'homologie des
groupes Gaussiens
(Dehornoy & Lafont). Dans cet esprit, nous avons dressé une
liste d'une
quinzaine de conjectures ou de directions de recherche (
Programme de
Minneapolis).
Travail en commun avec
François
Métayer.